Universidade Federal de Minas Gerais
Colégio Técnico da UFMG
Alunos: Pedro Bernardes, Rafael Alves e Rayssa Ritchêlly.
Turma: 105
Data: 29/10/2012
Relatório 14 - Modos Normais de Vibração
Introdução
Nesse relatório referente ao Laboratório de Física de número 14 falaremos sobre o princípio de superposição, que ocorre quando duas ou mais ondas se propagam em um mesmo meio simultaneamente. Assim a nova onda gerada causará uma perturbação igual à soma das perturbações que as ondas separadas causariam.
Falaremos também sobre interferências que ocorre quando duas ondas que se propagam em um mesmo meio se encontram. Existem dois tipos de interferência: a construtiva e a destrutiva. Na interferência construtiva a amplitude da nova onda formada na superposição é maior do que a amplitude das ondas que se superpõem. Já na interferência destrutiva ocorre o cancelamento das ondas, podendo ser parcial ou total. Quando ocorre uma interferência totalmente destrutiva o meio não apresenta efeito das perturbações permanecendo o ponto de equilíbrio, enquanto perdurar a superposição.
Esse relatório falará também sobre os modos normais de vibração de uma corda. Os modos normais de vibração são as frequências na qual a estrutura deformável oscilará ao ser perturbada.
A ressonância é o fenômeno que acontece quando um sistema físico recebe energia por meio de excitações de frequência igual a uma de suas frequências naturais de vibração. Assim o sistema físico passa a vibrar com amplitudes cada vez maiores. Esse também é um tema que será abordado nas explorações feitas.
Objetivos
Esse laboratório teve como objetivos gerais observarmos se toda estrutura capaz de vibrar, irá, necessariamente, oscilar, ao interagir com uma onda, ou ao ser conectada a uma fonte externa de vibrações; e se a transmissão de vibrações sempre acontece ou necessita de condições especiais para ocorrer.
Esse laboratório teve também, como objetivos específicos, vermos se o modo de vibração caracterizado pela presença de um ventre central e dois nós nas extremidades pode ser obtido para qualquer frequência do gerador de sinal; se as frequências naturais de vibração do fio exibem alguma relação matemática simples com o valor da frequência natural do primeiro modo de vibração; se é possível utilizar o conceito de ressonância para analisar os experimentos que foram realizados, se a variação de tensão, de comprimento e da densidade linear influencia na sua frequência fundamental de ressonância.
Procedimentos e Métodos
Montagem do experimento
Na primeira exploração utilizamos um fio fixo de 158 cm, que passa por uma roldana e tem sua extremidade presa a um conjunto de pesos (no caso, de 50 g ). Na outra extremidade, o fio está ligado a um alto-falante, que realiza oscilações de pequena amplitude. A frequência de tais oscilações pode ser definida por um gerador de sinal. Com essa montagem tentamos encontrar um modo de vibração semelhante ao mostrado na figura.
Primeiro modo de vibração
Essa frequência variou entre 12 kHz e 13 kHz. Nossas análises sobre o resultado obtido se encontram na seção "Apresentação e Análise dos Resultados". Na segunda exploração utilizamos a mesma montagem usada na primeira exploração. Assim, tentamos achar o segundo modo de vibração da corda, como mostrado na figura.
Segundo modo de vibração
Assim, obtemos a frequência de 24 kHz. Nossas análises sobre o resultado obtido se encontram na seção "Apresentação e Análise dos Resultados". Na terceira exploração repetimos os
Terceiro modo de vibração
mesmos procedimentos das explorações anteriores. Agora tentamos encontrar o terceiro modo de vibração da corda, como na figura. Encontramos a frequência de 40 kHz.
Quarto modo de vibração
Depois tentamos prever a frequência do quarto nível de vibração, como mostrado na figura. O valor previsto e o valor obtido se encontram na seção "Apresentação e Análise dos Resultados".
Na quarta e última exploração investigamos o efeito da variação da tensão, do comprimento e da densidade linear na frequência fundamental de ressonância. Dessa maneira, primeiramente duplicamos a tensão da corda, trocando o peso que antes era de 50 g por um de 100 g e tentamos encontrar o primeiro modo de vibração. Depois triplicamos a tensão da corda em relação à tensão inicial, trocando o peso de 100 g por um de 150 g e, como feito anteriormente, encontramos a frequência fundamental de ressonância da corda. Depois utilizamos a mesma corda utilizada nas explorações anteriores, porém com a metade do comprimento original, ou seja, com 79 cm e com a mesma tensão inicial, com um peso de 50 g. Da mesma maneira, podemos encontrar o primeiro modo de vibração da mesma. Depois trocamos a corda utilizada. Anteriormente utilizamos a chamada "linha urso", como é comercialmente conhecida e, a partir desse momento, utilizamos o barbante. O barbante apresentava o mesmo comprimento da corda utilizada anteriormente (158 cm) e com um peso na sua extremidade de 50 g. As alterações nos valores das frequências dos modos de vibração se encontram na seção "Apresentação e Análise dos Resultados".
Apresentação e Análise dos Resultados
Na primeira exploração, como já foi dito, encontramos o primeiro modo de vibração da corda. Encontramos um valor que variava entre 12 kHz a 13 kHz. Podemos perceber que tal modo de vibração não pode ser obtido com qualquer frequência e sim com a frequência de vibração natural da corda. O ventre ocorre onde existe uma interferência construtiva e os dois nós ocorrem onde existe uma interferência destrutiva.
Na segunda exploração encontramos o segundo modo de vibração da corda. A frequência obtida foi de 24 kHz, que é o dobro do valor do primeiro modo de vibração. Nesse modo de vibração ocorrem três nós, que é onde ocorre a interferência destrutiva, e dois ventres, onde ocorre a interferência construtiva.
Na terceira exploração encontramos o valor do terceiro modo de vibração. Encontramos o valor de 40 kHz que é o triplo de 13 kHz (39 kHz), correspondente ao valor do primeiro modo de vibração. Nesse modo de vibração ocorre a formação de 3 ventres e 4 nós. Depois tentamos prevemos o valor do quarto modo de vibração. Como o valor do segundo modo de vibração foi o dobro do valor do primeiro modo de vibração e o valor do terceiro modo de vibração foi o triplo do valor do primeiro, escolhemos o valor entre 48 kHz e 52 kHz. Encontramos o valor de 49 kHz que está muito próximo dos valores que escolhemos. Nesse modo de vibração ocorre a formação de 4 ventres e 5 nós. Com esses experimentos podemos concluir que o valor do modo de vibração pode ser obtido multiplicando o valor do primeiro modo de vibração pelo número do modo de vibração. Por exemplo, para encontrar o quinto modo de vibração, basta multiplicar o valor do primeiro modo de vibração da corda (no caso usaremos 12 kHz) por 5 : 5x12=60. Então o valor do quinto modo de vibração será de 60 kHz.
Na quarta exploração primeiramente trocamos o peso da extremidade da corda, que era de 50 g, por um de 100 g. Depois encontramos novamente o primeiro modo de vibração da corda. Obtivemos o valor de 16 kHz. Depois encontramos o segundo modo de vibração dessa corda e obtivemos o valor de 19 kHz. Concluímos então que, quando duplicamos o valor da tensão dessa corda soma-se 3 ao valor da frequência original. Depois utilizamos a mesma corda, com um peso de 50 g na sua extremidade, porém som a metade do comprimento anterior, ou seja, 79 cm e tentamos encontrar o primeiro modo de vibração. O valor obtido foi de 26 kHz. Concluímos então que, quando dividimos o comprimento da corda, duplicamos o valor da frequência. Trocamos agora a corda utilizada. Agora utilizamos o barbante com um peso de 50 g na sua extremidade e com o mesmo comprimento da corda utilizada anteriormente. Encontramos o valor do primeiro modo de vibração do barbante que é de 10 kHz.
Com essas explorações podemos concluir que o numero de ventres que se formam em uma corda em seus modos de vibração é igual ao número do mesmo, ou seja, o primeiro modo de vibração tem 1 ventre, o segundo tem 2 ventres, o terceiro tem 3 ventres e assim por diante. Também percebemos que o numero de nós de um modo de vibração pode ser encontrado com essa equação: N = n+1, onde N é o numero de nós e n o número do modo de vibração. Assim o primeiro modo de vibração tem 2 nós (N = 1+1; N = 2), o segundo tem 3 nós, o terceiro tem 4 nós e assim por diante.
Conclusão
Com os experimentos realizados podemos concluir que não necessariamente estruturas que interagem com ondas ou que são conectadas a uma fonte de vibrações oscila.
Percebemos também que os modos de vibração só são obtidos em uma frequência similar à frequência de viração natural da corda e que os valores das frequências de vibração de uma corda são múltiplos do valor do primeiro modo de vibração. Podemos concluir também que esses fenômenos ocorreram, pois a corda entrou em ressonância quando estava conectada ao gerador de sinal. Concluímos também que, quando alteramos a corda utilizada, ou seja, com uma densidade linear diferente, a corda que apresenta uma densidade linear maior terá um valor menor de frequência para o primeiro modo de vibração do que aquela que apresenta densidade linear menor. Também a corda que está mais tencionada apresenta um valor de frequência de seu primeiro modo de vibração maior do que a corda que está menos tencionada.